Question

18．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱和它在底面的射影所成的角是45°，求它的全面积和体积．

Answer 1

分析 如图所示，设底面对角线AC∩BD=O，连接OP．由四棱锥P-ABCD是正四棱锥，可得PO⊥底面ABCD．因此∠PAO是侧棱和它在底面的射影所成的角，∠PAO=45°，进而得出PO，PA．再利用全面积和体积的计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
设底面对角线AC∩BD=O，连接OP．
∵四棱锥P-ABCD是正四棱锥，
∴PO⊥底面ABCD．
∴∠PAO是侧棱和它在底面的射影所成的角，∠PAO=45°，
∵AB=a，
∴OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，PA=a．
∴△PAB是等边三角形．
∴P-ABCD的全面积S=4×S_△PAB+S_{正方形ABCD}=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}+{a}^{2}$=$（\sqrt{3}+1）{a}^{2}$；
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$．

点评 本题考查了正四棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、线面角、四棱锥的全面积与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．