Question

3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥面ABCD，PD=2，PB与面ABCD所成的角的大小为30°．
（1）若E是PD的中点，求异面直线PA与BE所成角的大小；
（2）求△PAD以PA为轴旋转所成几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接BD，取AD的中点F，连接EF，BF．利用三角形中位线定理可得∠BEF或其补角是异面直线PA与BE所成角．由于侧棱PD⊥面ABCD，PB与面ABCD所成的角的大小为30°．可得∠PBD=30°．可得PB，BD．AB．BF，BE，EF．在△BEF中，利用余弦定理即可得出cos∠BEF．
（2）如图所示，作DO⊥PA，垂足为O，利用直角三角形的边角关系可得PA，OD．利用△PAD以PA为轴旋转所成几何体的体积V=$\frac{1}{3}×πO{D}^{2}×PA$即可得出．

解答 解：（1）如图所示，连接BD，取AD的中点F，连接EF，BF．
∴EF$\underset{∥}{=}\frac{1}{2}PA$，
∴∠BEF或其补角是异面直线PA与BE所成角．
∵侧棱PD⊥面ABCD，PB与面ABCD所成的角的大小为30°．
∴∠PBD=30°．
∵PD=2，∴PB=4，BD=2$\sqrt{3}$．
∴$2A{B}^{2}=（2\sqrt{3}）^{2}$，
解得AB=$\sqrt{6}$．
∴$BF=\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
又BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
$EF=\sqrt{D{F}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
在△BEF中，cos∠BEF=$\frac{B{E}^{2}+E{F}^{2}-B{F}^{2}}{2BE•EF}$=$\frac{13+\frac{10}{4}-\frac{30}{4}}{2×\sqrt{13}×\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{130}}{65}$．
∴∠BEF=arccos$\frac{4\sqrt{130}}{65}$．
（2）如图所示，
作DO⊥PA，垂足为O，
∵PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
OD=$\frac{PD•AD}{PA}$=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
∴△PAD以PA为轴旋转所成几何体的体积V=$\frac{1}{3}×πO{D}^{2}×PA$=$\frac{1}{3}×π×\frac{4×3}{5}$×$\sqrt{10}$=$\frac{4\sqrt{10}π}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理、直角三角形的边角关系、圆锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．