Question

14．已知x=1是函数f（x）=1+（1-x）ln（kx）的极值点，e自然对数底数．
（Ⅰ）求k值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在m∈（1，+∞），使得当a＞m时，不等式（a+x）ln（a+x）＜ae^xlna对任意正实数x都成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （I）求导$f'（x）=-ln（kx）+\frac{1-x}{x}$，从而令f′（1）=0解得k=1；从而由导数的正负确定函数的单调性；
（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜ae^xlna可以化为$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{{e^{a+x}}}}＜\frac{alna}{e^a}$，设$h（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，则h（a+x）＜h（a），即判断是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是减函数，从而求导$h'（x）=\frac{1+（1-x）lnx}{e^x}=\frac{f（x）}{e^x}$，由导数的正负确定函数的单调性．从而说明m值存在．

解答 解：（I）$f'（x）=-ln（kx）+\frac{1-x}{x}$，
由题意f′（1）=0，得k=1；
此时f（x）=1+（1-x）lnx，定义域是（0，+∞），
令$g（x）=f'（x）=-lnx+\frac{1-x}{x}$，
$g'（x）=-\frac{x+1}{x^2}$，
∵g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）是减函数，且g（1）=0，
因此当x∈（0，1）时，f′（x）=g（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）=g（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜ae^xlna可以化为$\frac{（a+x）ln（a+x）}{{{e^{a+x}}}}＜\frac{alna}{e^a}$，
设$h（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，则h（a+x）＜h（a），
即判断是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是减函数，
∵$h'（x）=\frac{1+（1-x）lnx}{e^x}=\frac{f（x）}{e^x}$，
∵$f（\frac{1}{e^2}）=\frac{{2-{e^2}}}{e^2}＜0$，f（1）=1＞0，f（e）=2-e＜0，
∴h′（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，分别设为x₁和x₂，列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h（x）	↓	极小	↑	极大	↓

∴h（x）在（x₁，x₂）是增函数，在（x₂，+∞）是减函数，
∵x₂∈（1，+∞），
∴存在这样的m值，且m=x₂．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，注意“当a＞m时，不等式h（a+x）＜h（a）对任意正实数x都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，证明h（x）在（m，+∞）是减函数即可，属于中档题．