Question

5．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F，上顶点为B，若线段BF的垂直平分线经过坐标原点O．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）过坐标原点引两条相互垂直的直线OM，ON（与坐标轴不重合）分别交椭圆于M，N两点，若三角形OMN的最小面积为$\sqrt{2}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线段BF的垂直平分线经过坐标原点O得到b=c，即可求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）设出直线OM，ON的方程，联立方程组求出M，N的横坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设F（c，0），B（0，b），
∵线段BF的垂直平分线经过坐标原点O，
∴b=c，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}=\sqrt{2}c$，
即椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）设直线OM的方程为y=kx，则直线ON的方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得，${{x}_{M}}^{2}=\frac{2{b}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${{x}_{N}}^{2}$=$\frac{2{b}^{2}{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
则S_△OMN=$\frac{1}{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x_M|$•\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}•|{x}_{N}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}}$•|x_M•x_N|
=${b}^{2}•\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+10}}$≥b²$•\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4•2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+10}}$=$\frac{2}{3}{b}^{2}$，
当且仅当k²=1时，取等号，即b²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及椭圆离心率的求解，考查学是的运算能力．