Question

10．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E分别是CC₁，AB的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若E到A₁B的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图所示，连接AB₁交A₁B于点F，则点F是A₁B的中点．利用三角形的中位线定理可得$EF\underset{∥}{=}CD$，利用平行四边形的判定定理可得CE∥DF，再利用线面平行的判定定理即可证明CE∥平面A₁BD；
（II）E到A₁B的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EB=1，可得sin∠EBA₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．tan∠EBA₁=2．可得AA₁，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$，即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：如图所示，连接AB₁交A₁B于点F，则点F是A₁B的中点．
连接EF，DF．又点E是AB的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}A{A}_{1}$，又$CD\underset{∥}{=}\frac{1}{2}A{A}_{1}$，
∴$EF\underset{∥}{=}CD$，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CE∥DF，
又EC?FD，FD?平面BDA₁，
∴CE∥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：∵E到A₁B的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EB=1，
∴sin∠EBA₁=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tan∠EBA₁=2．
∴AA₁=ABtan∠EBA₁=2×2=4．
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$．
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理、线面平行的判定定理、正三棱柱的性质与体积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．