Question

2．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{1}{3}$n³-$\frac{5}{4}$n²+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{4}$x²+3+m，（x≥1）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．

解答 解：数列a_n=$\frac{1}{3}$n³-$\frac{5}{4}$n²+3+m，令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{4}$x²+3+m，（x≥1）．f′（x）=x²-$\frac{5}{2}$x，
由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{5}{2}$，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜$\frac{5}{2}$，此时函数f（x）单调递减．
∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．
f（3）-f（2）=9-$\frac{45}{4}$-（$\frac{8}{3}$-5）＞0，
∴f（2）最小，∴$\frac{1}{3}$×8-5+3+m=1，
解得m=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了计算能力，属于中档题．