Question

17．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；
（2）根据条件可得g（a）=a-alna-1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；
（3）由（2）得e^x≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令$x=\frac{1}{k}$ （k∈N^*），可得$\frac{1}{k}＞ln（1+k）-lnk$ （k=1，2，…，n），然后累加即可．

解答 解：（1）由题意a＞0，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=e^x-a=0，解得x=lna，
先当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
即f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，
其最小值为f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1；
（2）∵f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
∴在x∈R上，f_min（x）≥0，
由（1），设g（a）=a-alna-1，则g（a）≥0，
令g′（a）=1-lna-1=-lna=0，解得a=1，
易知g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，即a=1；
（3）由（2）得e^x≥x+1，即ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时，等号成立，
令$x=\frac{1}{k}$ （k∈N^*），则$\frac{1}{k}＞ln（1+\frac{1}{k}）$，即$\frac{1}{k}＞ln（\frac{1+k}{k}）$，
所以$\frac{1}{k}＞ln（1+k）-lnk$ （k=1，2，…，n），
累加，得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）（n∈N^*）．

点评 本题考查函数的最值，单调性，通过对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．