Question

3．已知数列{a_n}满足：a₁=6，a_n-1•a_n-6a_n-1+9=0，n∈N^*且n≥2．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）把已知的数列递推式变形，得到${a}_{n}=6-\frac{9}{{a}_{n-1}}$，然后直接利用$\frac{1}{{a}_{n+1}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{3（{a}_{n}-3）}=\frac{1}{3}$证得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（3）把{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，整理后利用裂项相消法求得答案．

解答 （1）证明：由a_n-1•a_n-6a_n-1+9=0，得${a}_{n}=6-\frac{9}{{a}_{n-1}}$，
∴${a}_{n+1}=6-\frac{9}{{a}_{n}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{1}{6-\frac{9}{{a}_{n}}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{3（{a}_{n}-3）}=\frac{1}{3}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列；
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{a}_{n}-3}=\frac{1}{{a}_{1}-3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{n}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{3（n+1）}{n}$；
（3）解：b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{\frac{3（n+1）}{n}}{（n+1）^{2}}=\frac{3}{n（n+1）}=3（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
则${T}_{n}=3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$3（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{3n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．