Question

14．设函数f（x）的定义域D，若存在非零实数m满足?x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是[-2，2]．

Answer 1

分析 定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|，画出函数图象，根据高调函数的定义可知8≥2a²，解之即可求出a的取值范围．

解答 解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，f（x）=|x-a²|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-x，0≤x≤{a}^{2}}\\{x-{a}^{2}，x＞{a}^{2}}\end{array}\right.$，
根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，
∵f（x）为R上的8高调函数，当x=0时，函数的值为a²，要满足f（x+8）≥f（x），8大于等于区间长度2a²，
∴8≥2a²，
∴-2≤a≤2，即实数a的取值范围是[-2，2]．

点评 本题主要考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题