Question

9．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）a_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）a_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，变形$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）a_n+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{3}}{3}-\frac{{a}_{2}}{2}）$+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴a_n=2n-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“累加求和”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．