Question

20．设集合A={x|$\frac{（a-1）^{2}}{x-2a}$≥1}，B={x|x-3（a+1）x+6a+2≤0}，且A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由A与B的交集为A，得到A为B的子集，A中不等式变形后求出解集，B中不等式分情况讨论表示出解集，根据A为B的子集列出不等式组，求出a的范围即可．

解答 解：∵A∩B=A，
∴A⊆B，
由A中不等式变形得：$\frac{（a-1）^{2}}{x-2a}$-1≥0，即$\frac{{a}^{2}+1-x}{x-2a}$≥0，
整理得：$\frac{x-（{a}^{2}+1）}{x-2a}$≤0，
解得：2a＜x≤a²+1，即A=[2a，a²+1]，
由B中不等式变形得：（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
当3a+1≥2，即a≥$\frac{1}{3}$时，解得：2≤x≤3a+1，即B=[2，3a+1]，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\\{a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a≥3；
当3a+1＜2，即a＜$\frac{1}{3}$时，解得：3a+1≤x≤2，即B=[3a+1，2]，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2a≥3a+1}\\{{a}^{2}+1＜2}\\{a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，无解，
综上，a的范围为a≥3．

点评 此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．