Question

10．设曲线f（x）=e^x（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与直线y=-x+4和x轴所围成的区域为D（包含边界），点P（x，y）为区域D内的动点，若z=x-2y+a的最大值为8，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 4
• C． 10
• D． $\frac{23}{2}$

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率，写出切线方程，画出可行域D，画出直线l₀，将它平移观察经过点（4，0）时取得最大值，即可得到a的值．

解答 解：f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
在点（0，1）处的切线斜率为e⁰=1，
则切线方程为：y=x+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，
求出交点为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
如图画出区域D，作出直线l₀：x-2y=0，
平移直线l₀，观察当经过点（4，0）时，
z=x-2y+a取最大值4+a，
由a+4=8，解得a=4．
故选B．

点评 本题主要考查导数的几何意义及应用，求切线方程，同时考查线性规划应用于求目标函数的最值，属于中档题．