Question

18．已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{3ⁿ•a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由题意求出a，b的值，然后直接由等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入{3ⁿ•a_n}，然后利用错位相减法求数列{3ⁿ•a_n}的前n项和．

解答 （1）∵ax²-3x+2＞0的解集为（-∞，1）∪（b，+∞），根据不等式解集的意义，
可知：方程ax²-3x+2=0的两根为x₁=1、x₂=b．
利用韦达定理求得a=1，b=2．
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可得：b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ ①
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹ ②
由①-②得：-2T_n=2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹+3
=$2•\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n-1）•{3}^{n+1}+3$=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴${T}_{n}=（n-1）•{3}^{n+1}+3$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．