Question

8．已知（3x-1）²⁰⁰⁹=a₀x²⁰⁰⁹+a₁x²⁰⁰⁸+a₂x²⁰⁰⁷+…+a₂₀₀₉．
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀₉；
（2）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀₉|的值；
（3）求a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₉的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1即可求a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀₉；
（2）令x=-1即可求|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀₉|的值；
（3）由（1）（2）相加即可求a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₉的值．

解答 解：（1）令x=1，得（3-1）²⁰⁰⁹=a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀₉，
即a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹．
（2）∵展开式的通项公式T_k+1=${C}_{2009}^{k}（3x）^{2009-k}（-1）^{k}$，
则当k为奇数时，展开项的系数为负值，即x奇数次幂的系数为负值．
则|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₀₉|=-a₀+a₁-a₂+…+a₂₀₀₉；
令x=-1得（-3-1）²⁰⁰⁹═-a₀+a₁-a₂+…+a₂₀₀₉；
即-a₀+a₁-a₂+…+a₂₀₀₉=4²⁰⁰⁹．
（3）∵a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹，-a₀+a₁-a₂+…+a₂₀₀₉=4²⁰⁰⁹．
∴两式项加得a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₉=$\frac{1}{2}$（4²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁹）．

点评 本题主要考查二项展开式的应用，利用赋值法是解决本题的关键．