Question

16．已知抛物线C₁：x²=3λy，抛物线C₂：x²=2λy，椭圆C₃：x²+2y²=2λ，椭圆C₃的半焦距恰等于抛物线C₂的焦点到其准线的距离．
（1）求λ的值；
（2）设P（x₀，y₀）为C₂上一点，且在C₃的内部，过点P作直线交C₁于A，B两点，直线OP（O为坐标原点）交C₃于C，D两点，P为AB的中点．
①求证：直线AB的方程为2x₀x-3y-y₀=0；
②求四边形ACBD的面积（用y₀表示）

Answer 1

分析 （1）求出C₂的焦点到其准线的距离为，求出椭圆C₃的半焦距，由椭圆C₃的半焦距恰等于抛物线C₂的焦点到其准线的距离列式求得λ的值；
（2）①由（1）求出抛物线C₁、C₂和椭圆C₃的方程，由P（x₀，y₀）为C₂上一点，得${{x}_{0}}^{2}=2{y}_{0}$，设出
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法求得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}=\frac{2{x}_{0}}{3}$，然后利用直线方程点斜式得到
直线AB的方程为$y-{y}_{0}=\frac{2}{3}{x}_{0}（x-{x}_{0}）$，即2x₀x-3y-y₀=0；
②联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}{x}_{0}x-\frac{{y}_{0}}{3}}\\{{x}^{2}=3y}\end{array}\right.$，得：x²-2x₀x+y₀=0，利用弦长公式求得|AB|，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，求得C，D的坐标，由点到直线距离公式求出C到AB的距离d₁和D到AB的距离d₂，代入两个三角形的面积公式即可求得四边形ACBD的面积．

解答 （1）解：由C₂：x²=2λy，可得其焦点到其准线的距离为λ，
再由椭圆C₃：x²+2y²=2λ，得$\frac{{x}^{2}}{2λ}+\frac{{y}^{2}}{λ}=1$，则c²=2λ-λ=λ，c=$\sqrt{λ}$，
∵椭圆C₃的半焦距恰等于抛物线C₂的焦点到其准线的距离，∴$λ=\sqrt{λ}$，即λ=1；
（2）①证明：如图，
由（1）知，抛物线C₁：x²=3y，抛物线C₂：x²=2y，椭圆C₃：x²+2y²=2，
∵P（x₀，y₀）为C₂上一点，∴${{x}_{0}}^{2}=2{y}_{0}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${{x}_{1}}^{2}=3{y}_{1}，{{x}_{2}}^{2}=3{y}_{2}$，两式作差得：
（x₁-x₂）（x₁+x₂）=3（y₁-y₂），∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}=\frac{2{x}_{0}}{3}$，
∴直线AB的方程为$y-{y}_{0}=\frac{2}{3}{x}_{0}（x-{x}_{0}）$，即2x₀x-3y-y₀=0；
②解：由AB方程为2x₀x-3y-y₀=0，得$y=\frac{2}{3}{x}_{0}x-\frac{{y}_{0}}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}{x}_{0}x-\frac{{y}_{0}}{3}}\\{{x}^{2}=3y}\end{array}\right.$，得：x²-2x₀x+y₀=0．
x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=y₀，
∴|AB|=$\sqrt{1+（\frac{2}{3}{x}_{0}）^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}+9}}{3}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}+9}}{3}\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}$=$\frac{\sqrt{8{y}_{0}+9}}{3}•\sqrt{4{y}_{0}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+9{y}_{0}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得：C（$\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}，\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}$），D（-$\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}，-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}$），
C到AB的距离为：d₁=$\frac{|2{x}_{0}•\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}-\frac{3{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}-{y}_{0}|}{\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}+9}}$=$\frac{|\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}-{y}_{0}|}{\sqrt{8{y}_{0}+9}}$．
D到AB的距离为：d₂=$\frac{|-2{x}_{0}•\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}+\frac{3{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}-{y}_{0}|}{\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}+9}}$=$\frac{|\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}+{y}_{0}|}{\sqrt{8{y}_{0}+9}}$．
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}|AB|（{d}_{1}+{d}_{2}）$=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+9{y}_{0}}$×$\frac{2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}}{\sqrt{8{y}_{0}+9}}$
=$\frac{2}{3}×\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}$=$\frac{2}{3}\frac{{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{2{y}_{0}}}\sqrt{\frac{2}{{y}_{0}+1}}$=$\frac{2}{3}\frac{{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+{y}_{0}}}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线，圆锥曲线与圆锥曲线间的关系，考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，考查了学生的计算能力，是难题．