Question

6．袋中有4个红球、4个白球共8个球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从袋中任取一球，记下颜色后放回袋中，如此重复4次，求4次取球中至少有3次取得白球的概率；
（2）某商场开展了一次促销活动，每个顾客可以凭购物票据参加一次抽奖游戏，游戏规定，抽奖者须一次性地从袋中任取4球．若取出的4球均为红球，则获得价值100元的奖品；若取出的4球中恰有3只红球，则获得价值80元的奖品；若取出的4球中恰有2只红球，则获得价值50元的奖品；否则没有任何奖品．求顾客甲获得奖品价值X的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）判断“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为$\frac{1}{2}$，利用概率公式求解即可．
（2）确定X的取值为100，80，50，0，根据排列组合公式求解相应的概率即可，列出分布列，求解数学期望．

解答 解：（1）即事件为A：“4次取球中至少有3次取得白球”，则“4次取球中有k次取得白球”服从二项分布，每次恰好取得白球的概率为$\frac{1}{2}$，
∴P（A）=C${\;}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）⁴+${C}_{4}^{4}$（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{5}{16}$，
（2）X的取值为100，80，50，0，
P（X=100）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{70}$，
P（X=80）=$\frac{{{C}_{4}^{3}C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{8}{35}$，
P（X=50）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=0）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{4}^{3}{{+C}_{4}^{0}C}_{4}^{4}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{17}{70}$，
∴X的分布列为：

X	100	80	50	0
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{17}{70}$

E（X）=$\frac{1}{70}$×100$+80×\frac{8}{35}$$+50×\frac{18}{35}$$+0×\frac{17}{70}$=$\frac{318}{70}$．

点评 本题考查了离散型的概率分布列，数学期望的求解，关键是分清随机变量的取值，及相应的概率，计算准确．