Question

11．设直线l的方程为（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y=2m+2
（1）直线l在x轴上的轴距为-3，求实数m的值；
（2）直线l斜率为1，求实数m的值；
（3）对于?m∈R，直线l总过哪个定点．

Answer 1

分析 （1）取y=0求出直线在x轴上的截距，直接由截距等于-3求得m值，进一步验证后得答案；
（2）化直线方程一般式为斜截式，求出斜率，由斜率等于1列式求得m值，进一步验证后得答案；
（3）把直线方程两边同时除以m+1，化简后再利用直线系方程求得直线过的定点．

解答 解：（1）由（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y=2m+2，
得$x=\frac{2m+2}{{m}^{2}-2m-3}$，
由$\frac{2m+2}{{m}^{2}-2m-3}=-3$，解得：m=-1或m=$\frac{7}{3}$，
经检验m=-1时不合题意，∴m=$\frac{7}{3}$；
（2）由$-\frac{{m}^{2}-2m-3}{2{m}^{2}+m-1}=1$，解得：m=-1或m=$\frac{4}{3}$，
经检验，m=-1时不合题意，∴m=$\frac{4}{3}$；
（3）由（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y=2m+2，
得：（m+1）（m-3）x+（m+1）（2m-1）y=2（m+1），
∵m≠-1，
∴（m-3）x+（2m-1）y=2，
即m（x+2y）-（3x+y+2）=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{3x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$．
∴直线l总过定点（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）．

点评 本题考查了直线的一般式方程，考查了直线系方程，是基础题．