Question

19．如图，点F是抛物线y²=8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x-2）²+y²=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（8，12）．

Answer 1

分析 抛物线的准线l：x=-2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x_A+2，可得△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x_A+2+（x_B-x_A）+4=6+x_B，由抛物线y²=8x及圆（x-2）²+y²=16，解出交点坐标即可得出．

解答 解：抛物线的准线l：x=-2，焦点F（2，0），
由抛物线定义可得|AF|=x_A+2，
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x_A+2+（x_B-x_A）+4=6+x_B，
由抛物线y²=8x及圆（x-2）²+y²=16，
得交点的横坐标为2，
∴x_B∈（2，6）
∴6+x_B∈（8，12）
∴三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．