Question

9．已知△ABC，平面内一动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），则动点P过△ABC的（　　）

• A． 内心
• B． 外心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 确定$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向与∠BAC的角平分线一致，从而可得$\overrightarrow{AP}$的方向与∠BAC的角平分线一致，即可得到结论．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分别表示$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$方向上的单位向量，
∴$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向与∠BAC的角平分线一致．
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{AP}$的方向与∠BAC的角平分线一致
∴一定通过△ABC的内心
故选：A．

点评 本题主要考查向量的线性运算和几何意义，考查三角形的内心，属于中档题．