Question

17．已知α，β，γ是锐角三角形的三个内角，且sin2β=sinαcosγ+sinγcosα
（1）求角β；
（2）若2cos2α+3=8sin（$\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$）sin（$\frac{π}{4}-\frac{α}{2}$），求角α

Answer 1

分析 （1）由已知及三角形内角和定理可得2β=2π-2（α+γ），由诱导公式化简已知等式后可得cos（α+γ）=-$\frac{1}{2}$，结合0＜α+γ＜π，即可得解．
（2）由三角函数中的恒等变换应用化简已知等式可得：4cos²α+1=4cosα，可解得：cosα=$\frac{1}{2}$，结合α是锐角，即可求得角α的值．

解答 解：（1）∵α，β，γ是锐角，且α+β+γ=π，
∴β=π-（α+γ），0＜α+γ＜π，
∴sin2β=sinαcosγ+sinγcosα，
⇒sin[2π-2（α+γ）]=sinαcosγ+sinγcosα，
⇒-2sin（α+γ）cos（α+γ）=sin（α+γ），
⇒cos（α+γ）=-$\frac{1}{2}$，
⇒α+γ=$\frac{2π}{3}$，
⇒$β=\frac{π}{3}$．
（2）∵2cos2α+3=8sin（$\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$）sin（$\frac{π}{4}-\frac{α}{2}$），α是锐角，
⇒4cos²α+1=8（$\frac{\sqrt{2}}{2}cos\frac{α}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{α}{2}$）（$\frac{\sqrt{2}}{2}cos\frac{α}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\frac{α}{2}$）
⇒4cos²α+1=8（$\frac{1}{2}co{s}^{2}\frac{α}{2}$-$\frac{1}{2}si{n}^{2}\frac{α}{2}$）
⇒4cos²α+1=8（$\frac{1+cosα}{4}-\frac{1-cosα}{4}$）
⇒4cos²α+1=4cosα
⇒cosα=$\frac{1}{2}$
⇒$α=\frac{π}{3}$

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，倍角公式，特殊角的三角函数值，平方差公式等知识的应用，解题时注意角的范围，属于基础题．