Question

2．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，则异面直线BD与B₁C的距离为$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，确定要用到的几点坐标，设MN是异面直线BD，B₁C的公垂线段，设出M，N两点的坐标，然后根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\end{array}\right.$求出M，N点的坐标，根据空间两点的距离公式求出|MN|即可．

解答 解：建立如图所示空间直角坐标系，则：B（a，a，a），D（0，0，a），B₁（a，a，0），C（0，a，a）；
设MN是异面直线BD，B₁C的公垂线段；
设M（m，m，a），N（n，a，a-n），则MN⊥BD，MN⊥B₁C；
$\overrightarrow{BD}=（-a，-a，0）$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（-a，0，a）$，$\overrightarrow{MN}=（n-m，a-m，-n）$；
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BD}=0，\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（n-m）•（-a）+（a-m）•（-a）=0}\\{（n-m）•（-a）+（-n）•a=0}\end{array}\right.$；
解得m=$\frac{2a}{3}，n=\frac{a}{3}$；
∴M（$\frac{2a}{3}，\frac{2a}{3}，a$），N（$\frac{a}{3}，a，\frac{2a}{3}$）；
∴$|MN|=\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用向量解决立体几何问题的方法，会根据空间直角坐标系确定已知的点的坐标，异面直线距离、公垂线段的概念，以及两非零向量垂直的充要条件，空间两点间距离公式．