Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=$\frac{3}{2}{s_n}$-3n，n∈N^*
（Ⅰ）求a₁的值．
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记b_n=$\frac{{2{a_n}}}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}$，n∈N^*，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1易得a₁的值 （Ⅱ）由T_n=$\frac{3}{2}{s_n}$-3n可得s_n，当n≥2时a_n=${\;}_{{s}_{n}}$-s_n-1  （Ⅲ）首先验证当n=1时成立，当n≥2时利用放缩法得证．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${T_1}=\frac{3}{2}{S_1}-3$．因为T₁=S₁=a₁，所以${a_1}=\frac{3}{2}{a_1}-3$，解得a₁=6
（Ⅱ）当n≥2时${S_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{3}{2}{S_n}-3n-[{\frac{3}{2}{S_{n-1}}-3（{n-1}）}]=\frac{3}{2}{S_n}-\frac{3}{2}{S_{n-1}}-3$
所以${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-3$①，
${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}-3$②，
由②-①得：a_n=3a_n-1，
所以数列{a_n}是以6为首项，3为公比的等比数列．
所以${a_n}=6•{3^{n-1}}=2•{3^n}$．
（Ⅲ）当n=1时，${b_1}=\frac{3}{4}＜1$；
当n≥2时，${b_n}=\frac{{2{a_n}}}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}=\frac{{4×{3^n}}}{{{{（2×{3^n}-2）}^2}}}=\frac{3^n}{{{{（{3^n}-1）}^2}}}＜\frac{3^n}{{（{{3^n}-1}）（{{3^n}-3}）}}=\frac{{{3^{n-1}}}}{{（{{3^n}-1}）（{{3^{n-1}}-1}）}}$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}}）$，
所以${b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜{b_1}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{{{3^{n-1}}-1}}-\frac{1}{{{3^n}-1}}}）$=$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{{3^n}-1}}}）＜1$．

点评 本题主要考查等比数列与不等式确定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质，会利用放缩法及裂相消法求数列的和，本题难度较大．