Question

4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，且b≠c，求证：tan∠ADB=$\frac{2bcsinA}{{b}^{2}-{c}^{2}}$．

Answer 1

分析 设∠ADB=α．在△ABD中，由正弦定理可得$\frac{c}{sinα}=\frac{AD}{sinB}$，${c}^{2}=\frac{A{D}^{2}si{n}^{2}α}{si{n}^{2}B}$，同理可得b²=$\frac{A{D}^{2}si{n}^{2}α}{si{n}^{2}C}$，可得b²-c²=AD²sin²α$（\frac{1}{si{n}^{2}C}-\frac{1}{si{n}^{2}B}）$．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：b²-c²=2ADacosα，可得$\frac{ta{n}^{2}α}{4{a}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}Bsi{n}^{2}C}{（si{n}^{2}B-si{n}^{2}C）（{b}^{2}-{c}^{2}）}$，再利用正弦定理即可得出．

解答 证明：设∠ADB=α．
在△ABD中，$\frac{c}{sinα}=\frac{AD}{sinB}$，可得${c}^{2}=\frac{A{D}^{2}si{n}^{2}α}{si{n}^{2}B}$，
同理可得b²=$\frac{A{D}^{2}si{n}^{2}α}{si{n}^{2}C}$，
∴b²-c²=AD²sin²α$（\frac{1}{si{n}^{2}C}-\frac{1}{si{n}^{2}B}）$．
在△ABD中，由余弦定理可得：c²=$A{D}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$-AD•a•cosα，
同理可得b²=$A{D}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$+AD•a•cosα，
∴b²-c²=2ADacosα，
∴$\frac{ta{n}^{2}α}{4{a}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}Bsi{n}^{2}C}{（si{n}^{2}B-si{n}^{2}C）（{b}^{2}-{c}^{2}）}$，
化为tan²α=4a²•$\frac{si{n}^{2}Bsi{n}^{2}C}{（si{n}^{2}B-si{n}^{2}C）（{b}^{2}-{c}^{2}）}$=$\frac{4{a}^{2}（\frac{bsinA}{a}）^{2}（\frac{csinA}{a}）^{2}}{[（\frac{bsinA}{a}）^{2}-（\frac{csinA}{a}）^{2}]（{b}^{2}-{c}^{2}）}$=$\frac{4{b}^{2}{c}^{2}si{n}^{2}A}{（{b}^{2}-{c}^{2}）^{2}}$，
∴tan∠ADB=$\frac{2bcsinA}{{b}^{2}-{c}^{2}}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、“弦化切”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．