Question

16．若不等式（a-4）x²+2（a-4）x+4≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是[4，8]．

Answer 1

分析 对a讨论，a=4，a＞4．结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到范围．

解答 解：不等式（a-4）x²+2（a-4）x+4≥0对一切x∈R恒成立，
当a-4=0，即a=4时，恒成立，合题意；
当a-4≠0时，要使不等式恒成立，
需$\left\{\begin{array}{l}{a-4＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{4（a-4）^{2}-16（a-4）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{4≤a≤8}\end{array}\right.$，
解得4＜a≤8．
综上可得，a的取值范围为[4，8]．
故答案为：[4，8]．

点评 本题考查不等式恒成立问题，主要考查二次函数的图象和性质，注意讨论二次项系数是否为0，属于中档题和易错题．