Question

6．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（$\frac{π}{3}$-2x）+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+2x）（x∈R），求函数f（x）的值域和最小正周期．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=$\sqrt{19}$cos（2x-α），再利用余弦函数的最值以及余弦函数的周期性得出结论．

解答 解：函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+2x）+cos（$\frac{π}{3}$-2x）+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+2x）
=cos$\frac{π}{3}$cos2x-sin$\frac{π}{3}$sin2x+cos$\frac{π}{3}$cos2x+sin$\frac{π}{3}$sin2x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$cos2x+2$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{3}$sin2x
=4cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=$\sqrt{19}$cos（2x-α），其中，cosα=$\frac{4}{\sqrt{19}}$，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{19}$，
故函数f（x）的值域为[-$\sqrt{19}$，$\sqrt{19}$]，最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦函数的最值以及余弦函数的周期性，属于中档题．