Question

15．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC+（cosA-sinA）cosB=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）cosC+（cosA-sinA）cosB=0，可得-cos（A+B）+cosAcosB-sinAcosB=0，可化为tanB=1，即可得出．
（2）由a+c=1，利用基本不等式的性质化为$ac≤\frac{1}{4}$．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-$\sqrt{2}$ac=1-$（2+\sqrt{2}）$ac，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）cosC+（cosA-sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-sinAcosB=0，
化为sinAsinB-sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-cosB=0，
∵cosB≠0，∴tanB=1，
∵B∈（0，π）．
解得B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵a+c=1，
∴$1≥2\sqrt{ac}$，
化为$ac≤\frac{1}{4}$．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-$\sqrt{2}$ac=1-$（2+\sqrt{2}）$ac≥$1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，当且仅当a=c=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$b≥\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$．
又b＜a+c=1．
∴b的取值范围是$[\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}，1）$．

点评 本题考查了余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．