Question

19．数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，则a₂₀₁₅=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 直接由已知求得数列前几项，得到数列的周期，由周期性得答案．

解答 解：由a₁=3，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}=\frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}$，
${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}}=\frac{\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}}=3$，
由上可得：数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则${a}_{2015}={a}_{3×671+2}={a}_{2}=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了数列的周期性，是基础题．