Question

19．已知函数f（x）=x-$\frac{2}{x}+alnx$在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）通过f′（x）及函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可得f′（1）=0，计算可得a=-3；
（2）结合（1）知f′（x）=0的两根为x₁=1，x₂=2，从而可得f（x）的单调区间，从而可得极值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x-$\frac{2}{x}+alnx$，
∴f′（x）=$1+\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax+2}{{x}^{2}}$ （x∈（0，+∞））
又∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=3+a=0，∴a=-3；
（2）由（1）知，$f′（x）=\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$（x∈（0，+∞））
则f′（x）=0的两根为x₁=1，x₂=2，
所以当x在（0，1）和（2，+∞）上f′（x）＞0，在（1，2）上f′（x）＜0．
所以f（x）的单调增区间为（0，1）和（2，+∞），单调减区间为（1，2）．
从而f（x）在x₁=1处取得极大值f_极大（x）=f（1）=-1，
f（x）在x₂=2处取得极小值f_极小（x）=f（2）=1-3ln2．

点评 本题考查函数的单调性，函数的极值，注意解题方法的积累，属于中档题．