Question

4．已知双曲线C₁：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左焦点为F，直线l是圆心C₂：x²+y²=b²的一条切线，O为坐标原点．
（1）若曲线C₁与C₂的交点恰为一个正方形的四个顶点，求该正方形的面积；
（2）求证：若直线l过点F，则l与曲线C₁恰有一个交点；
（3）若b=$\sqrt{2}$，设直线l与曲线C₁交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．

Answer 1

分析 （1）先画出图形，可设A为该正方形的一个顶点，B为它和x轴的一个交点，容易说明△AOB为等腰直角三角形，并且斜边AO=b，从而可求出正方形的边长，从而求出它的面积；
（2）设直线l的斜率为k，根据直线l过F点，写出l的方程，根据O到l的距离为b建立关于k的方程，解出k=±b．这时候来看k=b时l和双曲线交点情况，将直线方程带入双曲线方程，说明得到的方程只有一个解即可说明l和双曲线只有一个交点，对于k=-b的情况同理即可；
（3）设点（x₀，y₀）为切点，可讨论x₀y₀≠0，x₀=0，或y₀=0，对于x₀y₀≠0时，求出切线l的方程，联立双曲线方程得到关于x的一元二次方程：$（3{{x}_{0}}^{2}-4）{x}^{2}-4{x}_{0}x+8-2{{x}_{0}}^{2}=0$，根据韦达定理求出x₁+x₂，x₁•x₂，y₁•y₂，从而可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，从而得到∠AOB=90°；而当切点为圆与x轴，y轴交点时，容易求出A，B的坐标，从而求出AB，OA，OB，从而能得到AO²+BO²=AB²，所以∠AOB=90°，从而得到结论：∠AOB为定值．

解答 解：（1）如图，设A为该正方形的一个顶点，B为正方形和x轴的一个交点，连接OA，则：
线段OA在正方形的对角线上；
∴△AOB为等腰直角三角形，AO=b；
∴$BO=\frac{\sqrt{2}}{2}b$，正方形的边长为$\sqrt{2}b$；
∴正方形的面积为2b²；
（2）设直线l的斜率为k，直线方程为y=k（x+c），则：
原点O到直线l的距离为b；
∴$\frac{|kc|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=b$；
∴$\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{{k}^{2}+1}={b}^{2}$；
∴k=±b；
若k=b，l方程为y=b（x+c），带入双曲线方程并整理得：
2cx+c²+1=0，显然该方程只有一个实数解；
∴l和双曲线只有一个交点；
k=-b时同样如此；
∴若直线l过点F，则l与曲线C₁恰有一个交点；
（3）证明：①设点P（x₀，y₀） （x₀y₀≠0）在圆x²+y²=2上；
圆在点P（x₀，y₀）处的切线l的方程为$y-{y}_{0}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}（x-{x}_{0}）$；
化简得x₀x+y₀y=2；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{{x}_{0}x+{y}_{0}y=2}\end{array}\right.$及${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=2$得$（3{{x}_{0}}^{2}-4）{x}^{2}-4{x}_{0}x+8-2{{x}_{0}}^{2}=0$；
因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且$0＜{{x}_{0}}^{2}＜2$；
∴$3{{x}_{0}}^{2}-4≠0$，且$△=16{{x}_{0}}^{2}-4（3{{x}_{0}}^{2}-4）（8-2{{x}_{0}}^{2}）＞0$；
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）；
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{x}_{0}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}$；
因为$cos∠AOB=\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}$；
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{{{y}_{0}}^{2}}（2-{x}_{0}{x}_{1}）（2-{x}_{0}{x}_{2}）$
=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$$[4-2{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{{x}_{0}}^{2}{x}_{1}{x}_{2}]$
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}+\frac{1}{2-{{x}_{0}}^{2}}$$[4-\frac{8{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}+\frac{{{x}_{0}}^{2}（8-2{{x}_{0}}^{2}）}{3{{x}_{0}}^{2}-4}]$
=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{3{{x}_{0}}^{2}-4}+\frac{2{{x}_{0}}^{2}-8}{3{{x}_{0}}^{2}-4}=0$；
∴cos∠AOB=0；
所以∠AOB的大小为90°；
 ②当切点为圆与x轴交点时，如图所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$可求得A，B坐标：A（$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$）；
∴$AO=2，BO=2，AB=2\sqrt{2}$；
∴AO²+BO²=AB²；
∴∠A0B=90°，同样当切点为圆与x正半轴或y轴时的交点时，同样可求得∠AOB=90°；
∴综上得∠AOB为定值．

点评 考查双曲线及圆的标准方程，并且熟悉标准方程对应的图形，直线的点斜式方程，直线和圆相切时，圆心到切线的距离为半径长度，以及直线和曲线形成方程组的解和对应直线和曲线交点的关系，韦达定理，数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．