Question

14．在极坐标系中，曲线ρ³cosθ+1=0上的点到A（1，0）的距离的最小值为$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 曲线ρ³cosθ+1=0化为（x²+y²）x+1=0，可得y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$，设P（x，y）是曲线上的任意一点，利用两点之间的距离公式可得|PA|=$\sqrt{1-（2x+\frac{1}{x}）}$，由y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$≥0，解得-1≤x＜0，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：曲线ρ³cosθ+1=0化为（x²+y²）x+1=0，
∴y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$，
设P（x，y）是曲线上的任意一点，
则|PA|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-1）^{2}-\frac{{x}^{3}+1}{x}}$=$\sqrt{1-（2x+\frac{1}{x}）}$，
由y²=-$\frac{{x}^{3}+1}{x}$≥0，解得-1≤x＜0，
由$-2x+\frac{1}{-x}$$≥2\sqrt{-2x•\frac{1}{-x}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴|PA|_min=$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．
故答案为：$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查了把极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．