Question

5．已知函数f（x）=k-|x-3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且$\frac{1}{ka}+\frac{1}{2kb}+\frac{1}{3kc}=1$，求证：$\frac{1}{9}a+\frac{2}{9}b+\frac{3}{9}c≥1$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[-1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；
（Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$），展开运用基本不等式即可得证．

解答 （Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[-1，1]，即为
|x|≤k的解集为[-1，1]，（k＞0），
即有[-k，k]=[-1，1]，
解得k=1；
（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1（a，b，c＞0），
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）=3+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$）+（$\frac{3c}{a}$+$\frac{a}{3c}$）+（$\frac{3c}{2b}$+$\frac{2b}{3c}$）
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{2b}}$+2$\sqrt{\frac{3c}{a}•\frac{a}{3c}}$+2$\sqrt{\frac{3c}{2b}•\frac{2b}{3c}}$=3+2+2+2=9，
当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．
则有$\frac{1}{9}a+\frac{2}{9}b+\frac{3}{9}c≥1$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，注意运用不等式和方程的转化思想，运用添1法和基本不等式是解题的关键．