Question

1．在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是BC，A′D′的中点
（1）求直线A′C与DE所成的角的余弦值；
（2）求直线AD与平面B′EDF所成的角的余弦值；
（3）求面B′EDF与面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A′CP（或补角）为异面直线A′C与DE所成的角，在△A′CP中，利用余弦定理，即可求得异面直线A′C与DE所成的角；
（2）证明直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB′，在直角△B′AD中，利用余弦定理，即可求得直线AD与平面B′EDF所成的角；
（3）连接EF、D，交于点O，作OH⊥平面ABCD，作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则可得∠OMH为面B′EDF 与 面ABCD所成的角，在直角△OHM中，利用正弦函数，即可求得面B′EDF 与 面ABCD所成的角．

解答 解：（1）如图，

在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A′CP（（或补角）为异面直线A′C与DE所成的角
在△A′CP中，A′C=$\sqrt{3}$a，CP=DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，A′P=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
∴cos∠A′CP=$\frac{{3a}^{2}+{\frac{5}{4}a}^{2}-{\frac{13}{4}a}^{2}}{2\sqrt{3}a×\frac{\sqrt{5}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴异面直线A′C与DE所成的角为arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$；
（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B′EDF是菱形
∴DB′为∠EDF的平分线
∴直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′．
在直角△B′AD中，AD=a，AB′=$\sqrt{2}$a，B′D=$\sqrt{3}$a，
∴cos∠ADB′=$\frac{{a}^{2}+{3a}^{2}-{2a}^{2}}{2×a\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AD与平面B′EDF所成的角为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）连接EF、B′D，交于点O，显然O为B′D的中点，从而O为正方体的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心
作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则OM⊥DE，故∠OMH为面B′EDF与面ABCD所成的角．
在直角△DOE中，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
则由面积关系可得OM=$\frac{OD×OE}{DE}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$a，
在直角△OHM中，sin∠OMH=$\frac{OH}{OM}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
面B₁EDF与面ABCD所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查线线角、线面角、面面角，解题的关键是正确作出空间角，并在具体三角形中，利用余弦定理求出相应的角，属于中档题．