Question

9．以直角坐标系中原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知在极坐标系中，圆C的圆心C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半径r=$\sqrt{3}$．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α=[0，$\frac{π}{4}$），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的圆心C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）化为直角坐标（1，1），半径r=$\sqrt{3}$，可得直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=3．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出极坐标方程．
（2）设P（2，2），把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，把根与系数的关系代入：弦长|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）圆C的圆心C（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）化为直角坐标（1，1），半径r=$\sqrt{3}$，
∴直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=3．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0．
（2）设P（2，2），把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t²+（2cosα+2sinα）t-1=0，
∴t₁+t₂=-（2cosα+2sinα），t₁t₂=-1．
∴弦长|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（2cosα+2sinα）^{2}+4}$=$\sqrt{8+4sin2α}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{4}$），∴sin2α∈[0，1），
∴$\sqrt{8+4sin2α}$∈$[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}）$，
∴弦长|AB|的取值范围是$[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．