Question

3．已知边长为8$\sqrt{3}$的正三角形的一个顶点位于原点，另外有两个顶点在抛物线C：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知圆过定点D（0，2），圆心M在抛线线C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求$\frac{l_1}{l_2}$+$\frac{l_2}{l_1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得此正三角形的另外两个顶点为$（±4\sqrt{3}，12）$，代入抛物线方程解得p即可得出．
（2）设M（a，b），则a²=4b．半径R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，可得⊙M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，令y=0，解得x，可得A，B．利用两点之间的距离公式可得：l₁，l₂．代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得此正三角形的另外两个顶点为$（±4\sqrt{3}，12）$，
代入抛物线方程可得$（±4\sqrt{3}）^{2}=2p×12$，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设M（a，b），则a²=4b．半径R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，
可得⊙M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0，可得x²-2ax+4b-4=0，
∴x²-2ax+a²-4=0，解得x=a±2，
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0）．
∴${l_1}=\sqrt{{{（a-2）}^2}+4}$，${l_1}=\sqrt{{{（a+2）}^2}+4}$，
∴$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}=\frac{{{l_1}^2+{l_2}^2}}{{{l_1}{l_2}}}=\frac{{2{a^2}+16}}{{\sqrt{{a^4}+64}}}=2\sqrt{\frac{{{{（{a^2}+8）}^2}}}{{{a^4}+64}}}=2\sqrt{1+\frac{{16{a^2}}}{{{a^4}+64}}}$，（*）
当a≠0时，由（*）得，$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}=2\sqrt{1+\frac{16}{{{a^2}+\frac{64}{a^2}}}}≤2\sqrt{1+\frac{16}{2×8}}=2\sqrt{2}$．
当且仅当${a^2}=\frac{64}{a^2}$，即$a=±2\sqrt{2}$时取等号． 
当a=0时，$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}=2$，
综上可知：当$a=±2\sqrt{2}$时，所求最大值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准性质及其性质、基本不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．