Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n=6-$\frac{9}{{a}_{n-1}}$（n≥2），令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-3}$．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n=6-$\frac{9}{{a}_{n-1}}$（n≥2），b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-3}$，直接利用$\frac{1}{{a}_{n+1}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$为常数得到数列{b_n}是等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由a_n=6-$\frac{9}{{a}_{n-1}}$（n≥2），得${a}_{n+1}=6-\frac{9}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}=\frac{1}{6-\frac{9}{{a}_{n}}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}}{3（{a}_{n}-3）}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{3（{a}_{n}-3）}=\frac{1}{3}$．
即${b}_{n+1}-{b}_{n}=\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}是等差数列；
（2）解：∵a₁=4，
∴${b}_{1}=\frac{1}{{a}_{1}-3}=\frac{1}{4-3}=1$，
则${b}_{n}=1+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{n+2}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}-3}=\frac{n+2}{3}$，∴${a}_{n}=\frac{3n+9}{n+2}$．

点评 本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．