Question

16．已知曲线f（x）=ax+bln（x-1）-a-1在点（2，f（2））处的切线为y=0
（1）求实数a，b的值；
（2）设函数g（x）=mf（x+1）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx，其中1＜m＜3，求证：当x∈（1，e）时，-$\frac{3}{2}$（1+ln3）＜g（x）＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用切线的斜率为0，可得f'（2）=0，又f（2）=0，即可求实数a，b的值；
（2）求出g（x）的解析式，得到当1＜m＜3，函数在（1，$\sqrt{m}$）上单调减，在（$\sqrt{m}$，e）上单调增，从而可得函数的最小值，构建函数h（m）=g（$\sqrt{m}$）=-$\frac{m}{2}$-$\frac{m}{2}$lnm，求导函数，确定函数的单调性，即可证得结论．

解答 （1）解：求导函数，可得f'（x）=a+$\frac{b}{x-1}$，
由已知得切线的斜率为0，
从而f'（2）=0，所以a+b=0，
又f（2）=a-1=0，
所以a=1，b=-1；
（2）证明：f（x）=x-2-ln（x-1），g（x）=mf（x+1）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx=m（x-1-lnx）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx
=$\frac{{x}^{2}}{2}$-m-mlnx，g′（x）=x-$\frac{m}{x}$（1＜m＜3），
即有当1＜m＜3，函数在（1，$\sqrt{m}$）上单调减，在（$\sqrt{m}$，e）上单调增．
∴g（x）_min=g（$\sqrt{m}$）=-$\frac{m}{2}$-$\frac{m}{2}$lnm，
∴g（$\sqrt{m}$）≤g（x）＜max{g（1），g（e）}
设h（m）=g（$\sqrt{m}$）=-$\frac{m}{2}$-$\frac{m}{2}$lnm，
∴h′（m）=-1-$\frac{1}{2}$lnm
∵1＜m＜3，∴lnm＞0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，3）上单调递减
∴h（m）＞h（3）=-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$ln3，
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）时，g（x）＞-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$ln3
∵1＜m＜3，∴g（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$-2m＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2，g（1）=-$\frac{1}{2}$＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）时，g（x）＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2
∴当1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）时，总有-$\frac{3}{2}$（1+ln3）＜g（x）＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义和函数的单调性，以及不等式的证明，正确求导，构建函数是关键．