Question

18．若不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（0，e）．

Answer 1

分析 结合指数函数的性质，利用分类参数法进行求解，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值即可．

解答 解：当a＜0时，函数y=e${\;}^{\frac{x}{a}}$是减函数，此时不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x不能恒成立，
则必有a＞0，
当x≤0时，不等式恒成立，
当0＜x≤1时，y=e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞1，此时不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x恒成立，
当x＞1时，不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x等价$\frac{x}{a}＞lnx$，
即a$＜\frac{x}{lnx}$，
设f（x）=$\frac{x}{lnx}$，x＞1，
则f′（x）=$\frac{lnx-x•\frac{1}{x}}{（lnx）^{2}}=\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e，
由f′（x）＜0得lnx＜1，即1＜x＜e，
即当x=e时，函数取得极小值同时也是最小值f（e）=$\frac{e}{lne}=e$，
则0＜a＜e，
故实数a的取值范围是（0，e），
故答案为：（0，e）

点评 本题主要考查函数最大的求解，利用参数分离法，构造函数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．