Question

13．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 由数列递推式推得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$为首项，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，然后由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+2ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$，
又a₁=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$为首项，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．