Question

1．已知直线l经过点M₀（1，5），倾斜角是$\frac{π}{3}$．
（1）求直线l的参数方程；
（2）求直线l与直线x-y-2$\sqrt{3}$=0的交点与点M₀的距离；
（3）求直线l与圆x²+y²=16的两个交点到点M₀的距离的和与积．

Answer 1

分析 （1）根据直线的参方程 的定义公式求解．
（2）运用直线参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直线x-y-2$\sqrt{3}$=0，借助几何意义求解即可．
（3）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直线x²+y²=16，
化简得出：t²+（5$\sqrt{3}+1$）t+10=0，利用方程的根的关系求解即可．

解答 解：∵倾斜角是$\frac{π}{3}$，直线l经过点M₀（1，5），
∴斜率k=$\sqrt{3}$，
（1）直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=5+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$t为参变量
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直线x-y-2$\sqrt{3}$=0，
得t=-（10+6$\sqrt{3}$），
∴直线l和直线x-y-2$\sqrt{3}$=0的交点到点M₀的距离为：|t|=10$+6\sqrt{3}$．
（3）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直线x²+y²=16，
化简得出：t²+（5$\sqrt{3}+1$）t+10=0，
t₁+t₂=-1-5$\sqrt{3}$，t₁t₂=10，
t₁，t₂符号为同号且为负值，
|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂）=1$+5\sqrt{3}$

点评 本题考查了直线的参数方程，运用求解有关直线，圆的交点，距离问题，属于中档题．