Question

11．已知点B（0，1），点C（0，-3），直线PB、PC都是圆（x-1）²+y²=1的切线（P点不在y轴上）．
（Ⅰ）求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线l与（Ⅰ）中的抛物线相交于M、N两点，问是否存在定点R，使$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$为常数？若存在，求出点R的坐标与常数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线PC的方程为y=kx-3，由圆心（1，0）到切线PC的距离等于半径1求得k的值，可得PC的方程．求得P点的坐标，即可求得抛物线的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程并整理，利用韦达定理求得y₁+y₂ 和y₁•y₂ 的值．设点R（x₀，y₀），计算$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$ 为-$\frac{1}{3}$x₀m²-$\frac{1}{3}$y₀ m+${（1{-x}_{0}）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{3}$，可得当x₀=y₀=0时，上式是一个与m无关的常数，从而得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设直线PC的方程为：y=kx-3，
由圆心（1，0）到切线PC的距离等于半径1可得$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{4}{3}$，故PC的方程为y=$\frac{4}{3}$x-3．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y=\frac{4}{3}x-3}\end{array}\right.$求得P点的坐标为（3，1）．
可求得抛物线的标准方程为y²=$\frac{1}{3}$x．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程并整理得y²-$\frac{1}{3}$my-$\frac{1}{3}$=0．
设M（x₁，y₁）、N （x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{m}{3}$，y₁•y₂=$\frac{1}{3}$．
设点R（x₀，y₀），则$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（x₂-x₀，y₂-y₀）=（my₁+1-x₀ ）（my₂+1-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=m²•y₁•y₂+m（1-x₀）（y₁+y₂ ）+${（1{-x}_{0}）}^{2}$+y₁•y₂-y₀（y₁+y₂ ）+${{y}_{0}}^{2}$=-$\frac{1}{3}$x₀m²-$\frac{1}{3}$y₀ m+${（1{-x}_{0}）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{3}$，
故当x₀=y₀=0时，上式是一个与m无关的常数
所以存在定点R（0，0）满足条件，相应的常数是$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、韦达定理的应用，两个向量的数量积公式，还考查了计算能力，属于中档题．