Question

16．（1）已知椭圆的中心为坐标原点，且与双曲线y²-3x²=3有相同的焦点，椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{3}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用双曲线的性质求得c，再根据椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，求得a的值，从而得到b的值，从而求得要求的椭圆的标准方程．
（2）由题意可得$\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3-m}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此求得m的值．

解答 解：（1）双曲线y²-3x²=3，即 $\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1，它的焦点为（0，±2）．
由题意可得c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=4，b²=a²-c²=12，∴要求的椭圆的标准方程为 $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$．
（2）由于已知椭圆$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{3}$=1的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3-m}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
求得m=12，或$m=\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．