Question

1．如图，四边形ABCD为菱形，MA⊥平面ABCD，四边形ADNM是平行四边形．
（Ⅰ）求证：MB∥平面CDN；
（Ⅱ）求证：平面AMC⊥平面BDN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四边形ABCD为菱形，四边形ADNM是平行四边形．易证明平面MAB∥平面NCD，又MB?平面MAB，即可证明MB∥平面CDN；
（II） 连接BD，由线面垂直得MA⊥AC，由MA∥ND，得ND⊥AC，由菱形性质得BD⊥AC，由此能证明AC⊥平面BDN，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，四边形ADNM是平行四边形．
∴MA∥ND，AB∥DC，又MA∩AB=A，ND∩CD=D，
∴平面MAB∥平面NCD，…（3分）
又∵MB?平面MAB，
∴MB∥平面CDN；…（6分）
（ II） 连接BD，∵MA⊥平面ABCD且AC?平面ABCD，
∴MA⊥AC，…（7分）
又MA∥ND，∴ND⊥AC，…（9分）
又四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
又ND和BD是平面BDN上的两相交直线，
∴AC⊥平面BDN．…（11分）
∴由AC?平面AMC，可证平面AMC⊥平面BDN．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基本知识的考查．