Question

9．已知函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴交点的纵坐标为1，求m；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求m；
（2）求函数的导数，利用导数即可研究f（x）的单调性；
（3）构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=1-m，又f（1）=m，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1）） 处的切线方程为：
y-m=（1-m）（x-1），…2分
 令x=0，得y=2m-1，
∴2m-1=1，解得m=1．                …4分
（2）易得函数 f（x）的定义域为（0，+∞） 
由（1）知 f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{x-m}{{x}^{2}}$
∴①当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞） 单调递增； …5分
②当m＞0时，由f′（x）＞0可得x＞m，由f′（x）＜0 可得0＜x＜m，
∴f（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）单调递增．         …7分
综上所述，当m≤0时，f（x）在（0，+∞） 单调递增；
当m＞0 时，f（x）在（0，m） 单 调递减，在 （m，+∞）单调递增．                            …8分 
（3）对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1 恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a 恒成立
 设h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），…10分
则等价于h（x） 在（0，+∞） 上单调递减，
即h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-1≤0 在（0，+∞） 恒成立                  
∴m≥-x²+x（x＞0）恒成立，…11分
∵-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∴（-x²+x）_max=$\frac{1}{4}$…12分
∴m≥$\frac{1}{4}$ （对m=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0仅在x=$\frac{1}{4}$ 时成立），…13分
 m的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．                          …14分

点评 本题主要考查导数的几何意义以及函数最值的求解，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．