Question

18．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的$\frac{1}{4}$，则该双曲线的渐近线方程是（　　）

• A． x±2y=0
• B． 2x±y=0
• C． $\sqrt{3}$x±y=0
• D． x$±\sqrt{3}$y=0

Answer 1

分析 由题设知b=$\frac{1}{4}$×2c，因此b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，所以$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此可求出其渐近线方程．

解答 解：对于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为$\frac{|±bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
所以b=$\frac{1}{4}$×2c，
因此b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
所以$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
因此其渐近线方程为x±$\sqrt{3}$y=0．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．