Question

7．已知函数f（x）=ax²+x|x-b|．
（Ⅰ）当b=-1时，若不等式f（x）≥-2x-1恒成立．求实数a的最小值；
（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）-m|=$\frac{1}{4}$在[-3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得ax²≥-x|x+1|-2x-1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；
（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜-1时，（2）当a=-1时，（3）-1＜a＜0时，①当$\frac{b}{2（a+1）}$＜b，即-$\frac{1}{2}≤a＜0$，②当$\frac{b}{2（a+1）}$＞b，即-1＜a＜-$\frac{1}{2}$，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．

解答 解：（Ⅰ）当b=-1时，若不等式f（x）≥-2x-1恒成立，即为
ax²≥-x|x+1|-2x-1，
当x=0时，0＞-1成立；
当x≠0时，a≥$\frac{-2x-1-x|x+1|}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{-2x-1-x|x+1|}{{x}^{2}}$，
即有g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}-（\frac{1}{x}+\frac{3}{2}）^{2}，x≥-1，x≠0}\\{\frac{5}{4}-（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}，x＜-1}\end{array}\right.$，
当x≥-1，x≠0时，x=-$\frac{2}{3}$时，g（x）取得最大值$\frac{5}{4}$；
当x＜-1时，x=-2时，g（x）取得最大值$\frac{5}{4}$．
则有g（x）的最大值为$\frac{5}{4}$．
即有a≥$\frac{5}{4}$，则a的最小值为$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，
使得方程f（x）=m±$\frac{1}{4}$在[-3，3]上有6个互不相同的解．
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a+1）{x}^{2}-xb，x≥b}\\{（a-1）{x}^{2}+xb，x＜b}\end{array}\right.$，
（1）当a＜-1时，f（x）在（-∞，$\frac{b}{2（1-a）}$）递增，在（$\frac{b}{2（1-a）}$，+∞）递减．
方程f（x）=m±$\frac{1}{4}$在[-3，3]上不可能有6个互不相同的解；
（2）当a=-1时，f（x）在（-∞，$\frac{b}{4}$）递增，在（$\frac{b}{4}$，+∞）递减，
方程f（x）=m±$\frac{1}{4}$在[-3，3]上不可能有6个互不相同的解；
（3）-1＜a＜0时，①当$\frac{b}{2（a+1）}$＜b，即-$\frac{1}{2}≤a＜0$，f（x）在（-∞，$\frac{b}{2（1-a）}$）递增，
在（$\frac{b}{2（1-a）}$，b）递减，在（b，+∞）递增．
又1≤b≤2，-$\frac{1}{2}≤a＜0$，2[$\frac{-b}{2（a-1）}$]-b＞-3，
要使方程f（x）=m±$\frac{1}{4}$在[-3，3]上有6个互不相同的解．
则f（$\frac{b}{2（1-a）}$）-f（b）＞$\frac{1}{2}$，
?b∈[1，2]，都有a（9-b²）＞3b-$\frac{17}{2}$，b²[$\frac{1}{4（1-a）}$-a]＞$\frac{1}{2}$．
当a（9-b²）＞3b-$\frac{17}{2}$，即a＞$\frac{6b-17}{18-2{b}^{2}}$，令6b-17=t∈[-11，-5]，
g（b）=$\frac{6b-17}{18-2{b}^{2}}$=$\frac{18}{\frac{35}{t}-t-34}$，当t=-5即b=2时，g（x）_max=-$\frac{1}{2}$，即有a＞-$\frac{1}{2}$，
当b²[$\frac{1}{4（1-a）}$-a]＞$\frac{1}{2}$．则4a2-2a-1＞0，解得a＞$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$（舍去）或a＜$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$．
即有-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$；
②当$\frac{b}{2（a+1）}$＞b，即-1＜a＜-$\frac{1}{2}$，f（x）在（-∞，$\frac{b}{2（1-a）}$）递增，在（$\frac{b}{2（1-a）}$，$\frac{b}{2（a+1）}$）递减，
在（$\frac{b}{2（a+1）}$，+∞）递增．
?b∈[1，2]，$\frac{b}{2（1+a）}$＜3，f（3）-f（$\frac{b}{2（1+a）}$）=9（a+1）-3b+$\frac{{b}^{2}}{4（a+1）}$＞$\frac{1}{2}$，
当$\frac{b}{2（1+a）}$＜3，?b∈[1，2]恒成立，解得a＞-$\frac{2}{3}$，
当9（a+1）-3b+$\frac{{b}^{2}}{4（a+1）}$＞$\frac{1}{2}$，?b∈[1，2]恒成立，
取b=2代入得a＞-$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{7}{9}$．
所以无解．
综上可得，a的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{4}$）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和运用，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．