Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；
（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；
（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a＞0时，由题结合（1）得ab≤2a²-a²lna，设g（a）=2a²-a²lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=e^x-ax+a，可知f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
故当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；
（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→-∞时，f（x）→-∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；
当a=0时，此时ab=0；
当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=2a-alna，∴b≤2a-alna，∴ab≤2a²-a²lna，
设g（a）=2a²-a²lna （a＞0），则g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得$lna=\frac{3}{2}$，故$a={e}^{\frac{3}{2}}$，
当$a∈（0，{e}^{\frac{3}{2}}）$时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当$a∈（{e}^{\frac{3}{2}}，+∞）$时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
所以${g}_{max}（a）=\frac{{e}^{3}}{2}$，即当$a={e}^{\frac{3}{2}}$，$b=\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}$时，ab的最大值为$\frac{{e}^{3}}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．