Question

17．已知F₁、F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，过点F₂且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠F₁PF₂=45°，求此双曲线的渐近线的方程．

Answer 1

分析 先将x=c带人双曲线方程，求出${y}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，而根据∠F₁PF₂=45°知道△PF₁F₂为等腰直角三角形，从而得到$4{c}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，通过该式解出$\frac{b}{a}=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，这样即可求得该双曲线的渐近线方程．

解答 解：如图，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$得，${y}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$；
∵∠F₁PF₂=45°；
∴|F₁F₂|=|PF₂|；
∴$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{2}{|}^{2}$；
∴$4{c}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$；
∴4（a²+b²）a²=b⁴；
∴4a⁴+4a²b²-b⁴=0；
∴$（\frac{b}{a}）^{4}-4（\frac{b}{a}）^{2}-4=0$；
$\frac{b}{a}=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$；
∴此双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{2+2\sqrt{2}}x$．

点评 考查双曲线的标准方程，双曲线的焦点及焦距，一元二次方程的求根公式，双曲线的渐近线方程的概念及求法．