Question

7．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求$\frac{PD}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值；
（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
因为BC⊥AB，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB．又AM?平面PAB，
所以AM⊥BC．
因为PA=AB，M为PB的中点，
所以AM⊥PB．
又PB∩BC=B，
所以AM⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，
建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），M（1，1，0）．
$\overrightarrow{AP}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{AM}=（1，1，0）$
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$
令y=1，则z=-1．
所以$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1）．
由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{AM}$=（1，1，0）为平面的法向量，
设$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AM}$的夹角为α，则cosα=$\frac{1}{2}$．
因为二面角A-PC-B为锐角，
所以二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{PC}$，（0≤λ≤1）．
即（u-2，v，w）=λ（-2，2，2）．
所以u=2-2λ，v=2λ，w=2λ．
所以$\overrightarrow{BD}=（2-2λ，2λ-2，2λ）$．
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$，得$λ=\frac{1}{2}$．
因为$\frac{1}{2}∈[0，1]$，
所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．
此时$\frac{PD}{PC}$=$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．