Question

19．设函数f（x）=$\frac{{{e^{ax}}}}{{{x^2}+1}}$，a∈R．
（Ⅰ）当a=$\frac{3}{5}$时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[$\frac{1}{e}$，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=$\frac{3}{5}$时，求出函数的导数f′（x），通过导函数的符号，求解函数的单调增区间以及单调减区间．
（Ⅱ）写出g（x）=$\frac{{e}^{ax}（a{x}^{2}-2x+a）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，结合f（x）＞g（x），化简表达式，构造h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，利用函数的导数求解h（x）的最小值，然后求解a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=$\frac{3}{5}$时，f′（x）=$\frac{{e}^{\frac{3x}{5}}（3{x}^{2}-10x+3）}{{5（x}^{2}+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0可得3x²-10x+3＞0，解得，x$＜\frac{1}{3}$或x＞3，
由f′（x）＜0可得3x²-10x+3＜0，解得，$\frac{1}{3}＜x＜$3，
函数的单增调区间（$-∞，\frac{1}{3}$），（3，+∞），单调减区间为（$\frac{1}{3}，3$）；
（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，g（x）=$\frac{{e}^{ax}（a{x}^{2}-2x+a）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
又因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，
所以，f（x）＞g（x），则$\frac{{e}^{ax}}{{x}^{2}+1}＞\frac{{e}^{ax}（a{x}^{2}-2x+a）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，在x∈[$\frac{1}{e}$，2e]时，恒成立．
又因为$\frac{{e}^{ax}}{{x}^{2}+1}＞0$，所以a（x²+1）-2x＜x²+1，所以（a-1）（x²+1）＜2x，
∵x²+1＞0，
∴$a-1＜\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
设h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，则a-1＜h（x）_min，x∈[$\frac{1}{e}$，2e]即可．
又h′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
由h′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{{（x}^{2}+1）^{2}}$＞0，注意到x∈[$\frac{1}{e}$，2e]，解得$\frac{1}{e}≤x＜1$，
由h′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{{（x}^{2}+1）^{2}}$＜0，注意到x∈[$\frac{1}{e}$，2e]，解得：1＜x≤2e．
所以函数h（x）在$[\frac{1}{e}，1）$上是增函数，在（1，2e]上是减函数．
所以h（x）的最小值为：h（$\frac{1}{e}$），或h（2e）．
∵h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$，h（2e）=$\frac{4e}{4{e}^{2}+1}$，
作差可证得$\frac{2e}{{e}^{2}+1}＞\frac{4e}{4{e}^{2}+1}$，
∴a-1$＜\frac{4e}{4{e}^{2}+1}$，
所以a的取值范围：$（-∞，\frac{4{e}^{2}+4e+1}{4{e}^{2}+1}）$．

点评 本题考查的导数的应用，函数的最值与导数的关系，转化思想以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．