Question

8．已知双曲线x²-y²=4的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其左支上，且满足|P_n+1F₁|=|P_nF₂|，P₁F₁⊥F₁F₂，则x₂₀₁₅=-4030$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可求得P₁点的横坐标x₁（就是左焦点F₁的横坐标），利用两点间的距离公式由|P_n+1F₁|=|P_nF₂|可求得x_n+1-x_n=-2$\sqrt{2}$，从而利用等差数列的通项公式即可求得x₂₀₁₅的值．

解答 解：∵a²=4，b²=4，
∴c=2$\sqrt{2}$，即x₁=-2$\sqrt{2}$，
又|P_n+1F₁|=|P_nF₂|，
∴（x_n+1+2$\sqrt{2}$）²+y_n+1²=（x_n-2$\sqrt{2}$）²+y_n²，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n+4$\sqrt{2}$）=0，
由题意知，x_n＜0，
∴x_n+1-x_n=-2$\sqrt{2}$，
∴{x_n}是以-2$\sqrt{2}$为首项，-2$\sqrt{2}$为公差的等差数列，
∴x₂₀₁₅=x₁+2014×（-2$\sqrt{2}$）=-4030$\sqrt{2}$．
故答案为：-4030$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，突出考查等差数列的通项公式，通过分析运算得到x_n+1-x_n=-2$\sqrt{2}$是关键，也是难点，考查化归思想与运算能力，属于中档题．